Modul Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi

-

Wuri Setiasih, S. Si                                                                                          MODUL 1

KOMPOSISI DUA FUNGSI DAN INVERS SUATU FUNGSI


BAB I.  PENDAHULUAN

A.   Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari cara menentukan aturan fungsi dan komposisi beberapa fungsi, menentukan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, menentukan komponen fungsi komposisi bila aturan-aturan komposisinya diketahui, memahami kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers, menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi dan menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi komposisi

B.   Prasyarat 
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai sistem koordinat kartesius.

C.   Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut:
1.    Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2.    Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3.    Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4.    Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan
membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.





D.   Tujuan Akhir 
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1.  Menentukan aturan fungsi dan komposisi beberapa fungsi
2.  Menentukan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya
3. Menentukan komponen fungsi komposisi bila aturan-aturan komposisinya diketahui
4.  Memahami kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers
5.  Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi
6.  Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi komposisi

E.   Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi
Menentukan Komposisi Dua Fungsi dan Invers suatu Fungsi

Kompetensi Dasar :
·         Menentukan Komposisi dari Dua Fungsi
·         Menentukan Invers Suatu Fungsi


F.    Cek Kemampuan
No
Pertanyaan
Ya
Tidak
1.
Dapatkah Anda membedakan antara relasi yang merupakan fungsi dan bukan fungsi?


2.
Dapatkah Anda membedakan fungsi ganjil dan fungsi genap?


3.
Dapatkah Anda membedakan fungsi injektif, fungsi surjektif dan fungsi bijektif?


4.
Dapatkah Anda menentukan nilai suatu fungsi?


5.
Apakah Anda memahami fungsi komposisi dan menentukan fungsi komposisi dari dua fungsi?


6.
Apakah Anda memahami fungsi invers dan menentukan fungsi invers suatu fungsi?


7.
Apakah Anda mampu menentukan invers dari komposisi fungsi?



   Catatan:
Apabila Anda menjawab “tidak” pada salah satu pertanyaan di atas maka pelajarilah materi tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab ‘ya’ pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas/ latihan, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.
BAB II.  PEMBELAJARAN

A.   Rencana Belajar Siswa
Sesuai dengan tujuan tersebut di atas disusun kegiatan belajar siswa sebagai berikut:
1.   Fungsi                          
2.   Fungsi Komposisi
3.   Fungsi Invers
4.   Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi
B.   Kegiatan Belajar
 Kegiatan Belajar 1
FUNGSI


Tujuan Pembelajaran
Memahami pengertian fungsi dan jenis-jenisnya

Uraian Materi
 






1.   Pengertian Fungsi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.
Relasi fungsional dari A ke B ditulis sebagai , dibaca “f” memetakan A ke dalam B, jika f memetakan  ke , maka y disebut peta dari x oleh f dan ditulis , x disebut prapeta atau bayangan dari y.
Contoh 1:
                A                     B

a .
b .
c .

. 1
. 2
. 3
. 4
 




Untuk relasi di atas, maka:
A={a, b, c} disebut daerah asal atau domain
B={1,2,3,4} disebut daerah kawan atau kodomain
Sedangkan anggota-anggota yang menjadi peta atau bayangan disebut daerah hasil atau range.
Dari contoh di atas range = {1,3,4}
Suatu fungsi f dapat pula dituliskan sebagai
Penulisan tersebut memperlihatkan adanya rumus atau aturan yang menghubungkan unsur-unsur dalam himpunan A dengan unsure-unsur dalam himpunan B. Bentuk y=f(x), dibaca y sebagai fungsi dari x.
2.   Beberapa Jenis Fungsi Khusus
a.    Fungsi konstan
Contoh 2 : f(x) =30
                            
b.    Fungsi identitas
Contoh 3 : f(x) =x
c.    Fungsi tangga
 : nilai bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x
Contoh 4 :                       
              
d.    Fungsi modulus
Contoh 5 :

e.    Fungsi linear
Contoh 6 :

f.     Fungsi kuadrat
Contoh 7 :

g.    Fungsi ganjil, yaitu fungsi yang untuk setiap  berlaku f(-x)=-f(x)
Contoh 8 :
              

h.    Fungsi genap, yaitu fungsi yang untuk setiap  berlaku f(-x)=f(x)
Fungsi genap grafiknya simetris terhadap sumbu Y.
Contoh 9 :
           

3.   Jenis-Jenis Fungsi Berdasarkan Sifat-Sifat Fungsi
a.    Fungsi injektif
Fungsi f:A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap jika maka  .

         Contoh 10 :


1 —
2 —
3 —

— a
— b
— c

   A                      B
Fungsi f
A : {1,2,3}  ,  B : {a,b,c}

f : A à B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,c)}.

Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B

Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu.

 

b.    Fungsi surjektif atau onto
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk setiap  ada  (terdapat paling tidak satu a dalam domain A) sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Contoh 11:

   A       f         B
Diketahui  A= {1,2,3,4}  ,  B = {a,b,c}


1 ·
2 ·
3 ·
4 ·

· a
· b
· c

Fungsi f : A à B dinyatakan dalam pasangan terurut : f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}.

Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf : {a,b,c} dan Rf = B maka fungsi f adalah fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada.

Fungsi f : A à B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau Rf Ì B.

Contoh 12:


1 ·
2 ·
3 ·
4 ·

· a
· b
· c

   A        f         B
A : {1,2,3,4}  ,  B : {a,b,c}

fs f : A à B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}.

Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b} dan Rf Ì B, maka fungsi f adalah fungsi into atau fungsi ke dalam.




c.    Fungsi bijektif
Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk setiap terdapat tepat satu  sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B, artinya n(A)=n(B). Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Contoh 13 :


— a
— b
— c


1 —
2 —
3 —
A : {1,2,3}  ,  B : {a,b,c}

Fungsi f : A à B, dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,c), (3,b)}.


   A                      B
Fungsi f
Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

 


4.   Menentukan nilai fungsi
Menentukan nilai fungsi sama artinya mengganti variabel dengan suatu bilangan.
Contoh 14
Tentukan nilai f(5) dari fungsi f(x)=-2x+7!
Jawab :  f(5)= -2. 5 + 7 = -10 + 7 = -3

5.   Aljabar Fungsi
A.   Jumlah dan Selisih Dua Fungsi
Jika f dan g masing-masing merupakan suatu fungsi dengan domain Df dan Dg serta bayangan-bayangan dari fungsi f(x) dan g(x) ada pada kedua domain tersebut, maka :
1)   Jumlah fungsi f dan fungsi g ditulis (f + g) : x®f(x) + g(x)
2)   Selisih fungsi f dan fungsi g ditulis (f - g) : x®f(x) - g(x)
Daerah Df+g maupun daerah asal Df-g adalah sama yaitu Df  Dg

B.   Perkalian Dua Fungsi
Jika f dan g masing-masing merupakan suatu fungsi dengan domain Df dan Dg serta bayangan-bayangan dari fungsi f(x) dan g(x) ada pada kedua domain tersebut, maka hasil kali dua fungsi tersebut ditulis sebagai
(f.g) : x®f(x) . g(x) dengan daerah asal dari fungsi f dan g adalah Df  Dg.



C.   Pembagian Dua Fungsi
Jika f dan g masing-masing merupakan suatu fungsi dengan domain Df dan Dg serta bayangan-bayangan dari fungsi f(x) dan g(x) ada pada kedua domain tersebut, maka hasil kali dua fungsi tersebut ditulis sebagai
(f.g) : x®f(x) . g(x) dengan daerah asal dari fungsi f dan g adalah Df  Dg dan
Contoh 15 :
Diketahui fungsi-fungsi f dan g masing-masing ditentukan dengan rumus dan 
Tentukan fungsi-fungsi berikut dan daerah asalnya!
1.    (f+g) (x)            2. (f-g)(x)               3. (f.g)(x)               4.
Jawab:
Daerah asal fungsi adalah dan daerah asal fungsi adalah
1.    (f+g) (x) = f(x) + g(x) =
Daerah asal fungsi (f+g) (x) :
                   =
                   =
Jadi (f+g) (x) =  dengan daerah asal fungsi

2.    (f-g) (x) = f(x) - g(x) =
Daerah asal fungsi (f-g)(x) sama dengan daerah asal (f+g)(x).
Jadi (f-g)(x)=  dengan daerah asal fungsi

3.    (f.g) (x) = f(x) . g(x) =
Daerah asal fungsi (f.g)(x) sama dengan daerah asal (f+g)(x).
Jadi (f.g)(x)=  dengan daerah asal fungsi

4.   
Daerah asal fungsi sama dengan daerah asal (f+g)(x) hanya saja  dan
Jadi  dengan daerah asal fungsi
=




Rangkuman
1.      Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.
2.      Macam-macam fungsi antara lain fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi modulus, fungsi tangga, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi ganjil dan fungsi genap.
3.      Jenis-jenis fungsi menurut sifatnya dibedakan menjadi tiga yaitu fungsi injektif, fungsi surjektif dan fungsi bijektif.
4.      Aljabar fungsi meliputi penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian fungsi.

Tugas 1
 















Jawablah soal-soal berikut!
1.    Jika diketahui suatu fungsi dinyatakan sebagai f(x)=-3x+5, maka tentukan nilai dari f(6), f(0) dan f(-3)!
2.    Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi f(x)=5x+7
3.    Gambarlah sketsa grafik fungsi f(x)=x2 -4x -5!
4.    Untuk daerah asal Df ={x|-2≤x<3,x B}.Tentukan daerah hasilnya, jika fungsinya :
a.  f(x)=2x+3                            b. f(x)=2x-4
5.    Jika bayangan p oleh fungsi f(x)=3x+8 adalah 15, maka tentukan nilai 3p!
6.    Tentukan titik potong fungsi f(x)=x2-3x-28!
7.    Dari fungsi-fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi genap dan manakah yang merupakan fungsi ganjil:
a.  f(x)=x3-x                                c. f(x)=x2+x
b.  f(x)=x3-1                               d. f(x)=x2+1

Tugas 2
 


Untuk setiap f(x) dan g(x) yang diberikan tentukan fungsi-fungsi (f+g)(x),
(f-g)(x), (f.g)(x) dan (x) dan daerah asalnya
1.    Diketahui fungsi  dan fungsi .
2.    Diketahui fungsi  dan fungsi .
3.    Diketahui fungsi  dan fungsi .



Tes Formatif 1

Berilah tanda silang (x) pada huruf yang merupakan jawaban yang paling tepat!
1.    Suatu fungsi dinyatakan sebagai f(x)=x+10, bayangan dari f(8) adalah…
a.    18           b. 4              c. -4             d. -16           e. -18
2.    Bayangan oleh fungsi f, jika diketahui f(x)=4-2x adalah …
a.   -4           b. 4              c. 5              d. 8              e. 9

3.    Bayangan a oleh fungsi f(x)= adalah 10, maka nilai a negatif adalah …
a.    -2           b. -3            c. -5             d. -6            e. -8

4.    Banyak pemetaan yang mungkin dari himpunan P={2, 3, 4} ke himpunan Q={a, b, c, d} adalah …
a.    12           b. 16            c. 32            d. 64            e. 108

5.    Jika f(x)=-5x - 6, maka nilai f(-2) adalah …
a.    4             b. 9              c. 12            d. 18            e.27

6.    Himpunan pasangan berurutan berikut ini yang merupakan fungsi adalah …
a.    {(3,2), (2,6), (-1,4), (-2,8)}    d. {(2,1), (1,3), (1,4), (1,6)}
b.    {(1,2), (2,3), (3,2), (1,6)}      e. {(6,1), (4,2), (4,1), (5,1)}
c.       {(1,2), (1,3), 1,4), (1,6)}

7.    Dari fungsi-fungsi dibawah ini yang merupakan fungsi genap adalah…
a.                                       d.        
b.                                        e.
c.         

8.                                                                             

.2
.4
.6

1.
2.
3.
Relasi yang menyatakan pemetaan himpunan A ke himpunan B yang benar adalah …




        A                   B
a.   faktor dari                            d. kelipatan dari
b.   lebih dari                                       e. pembagi dari
c.   kurang dari                

9.    Jika bayangan p oleh fungsi  adalah 40, maka nilai 2p negatif adalah…
a.  10            b. -10           c. 8              d. -8            e. 6

10. Diketahui  dan fungsi tersebut memotong sumbu x, maka nilai x adalah …
a.  1 dan 5             d. -4 dan -1 
b.  -1 dan 4            e. 3 dan 5
c.  1 dan -4 
   
11. Jika , sedemikian sehingga maka range dari f adalah …
a.      c.      e.
b.       d.   

12.   Berikut ini adalah fungsi-fungsi kuadrat, kecuali …
d.                             d.
e.                              e.
f.       
         
13. Jika f adalah fungsi , maka nilai f(3)  adalah …
a.   -33                  b. -24           c. 24            d. 33            e. 44

14.   Diketahui fungsi , maka bayangan 4 oleh fungsi f adalah …
a.    20                   b. 18            c. 16            d. 12            e. 8

15. Diketahui fungsi . Jika , maka rumus fungsi f(x) adalah …
a.    3x+2      b. 3x-2         c. 3x+1        d. 2x+3        e. 3x+5
16.   Jika diketahui fungsi f(x) = x2 - 6x dan g(x)=3x - 4 maka hasil operasi f(x)+g(x) adalah ….
a.      c.       e.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

TAKDIRKU, ISTRI SIRI - PART 11

-
Akupun ikut bergabung dengan bapak yang sedang mengobrol dengan tetangga. “ Piye Mo, jare si Ugik meh dilamar ”, kata pakdeku yang di belakang rumah pada bapakku. “ Ho o kang, rencanane sekitar seminggu meneh. Sesuk aku lagi ketemu Radi nang omahe morotuwoku. ” Bapak menjelaskan kalu besok baru merencanakan secara matang soal perjodohanku. “Ya udah, biar wudunmu segera pecah. Tidak kepikiran lagi golekke jodo anakmu wadon iki ”, Pakde karo nepuk-nepuk pundakku. Aku yang lagi duduk di samping pakde hanya bisa mendengarkan pembicaraan mereka. Diam seribu bahasa. “ Lha piye nduk. Wis mantep to? ’ tanya pakde padaku. “Sebenarnya masih bingung pakde?” kataku. “Lha kenapa bingung Nduk?, banyak orang yang menunggu ingin menikah kamu malah bingung”, lanjut Pakde. “Gak apa-apa Pakde. Kula kan dereng nate kenal dados isin lan wedi ?”, sahutku. “ Wis ditampa wae. Muga-muga jodomu iki bener, iso nggo bebrayan sing sak lawase ”, lanjut pakde. “Lha bocahe ki piye Mo?, kata P...
Baca selengkapnya

Mengapa Saya Harus Menulis?

-
#Menulis adalah kegiatan yang sangat menyenangkan dan penuh manfaat. Dalam menulis kita harus menggunakan hati kita. Kalau kita menulis dengan hati makan orang yang membacanya juga menangkap dan memahami dengan hati. Saya teringat sebuah ajaran dalam Islam “Ikatlah ilmu dengan menulis”. Tentu saja pesan itu memiliki implikasi yang luas.  Ada alasan besar kenapa Islam mengajarkan hal itu. Ingat juga Allah telah berfirman “Demi Pena”. Pena identik alat untuk menulis.  Berawal dari keikutsertaan saya dalam sebuah event lomba mengarang dari SD terbawa sampai sekarang, keinginan untuk menulis. Saya sangat haus dengan ilmu menulis. Berikut ini beberapa MANFAAT MENULIS yang saya sarikan dari pengalaman pribadi, membaca dan berbagai kegiatan training online maupun offline. Beberapa training online menulis yang saya ikuti training sekolah perempuan mini, Joeragan Artikel, Indscript, KMO dan sebagainya. Beberapa manfaat tersebut  sebagai berikut : 1. Mewujudkan sebagian...
Baca selengkapnya

Gantungan Cinta

-
Dear Diary, Rasanya lama sudah kutak menyentuhmu. Saat ini aku dalam kesepian menunggu ketidakpastian. Sudah lama aku menjalin hubungan dengan kang Rendi. Tapi tidak kudapati keinginan serius darinya. Apakah aku akan segera dipinangnya ataukah hanya sebagai teman ngobrol biasa saja. Diary, aku sebenarnya sangat mencintainya dan mengharapkan imamku adalah dia. Dalam setiap doaku sehabis salat selalu aku mohon dia akan diizinkan Allah sebagai imamku. Mungkin aku terlalu berlebihan ya Diary. Terkadang aku juga takut seperti mendikte Tuhan, Allah Sang Maha Pemberi Keputusan. Jujur tadi pagi aku terkejut. Tidak biasanya kang Rendi mendiamkan chat WA-ku. Dia bacapun tidak. Aku hanya menahan tanda tanya, sedikit meleleh air mata. Ada apa ya Di, kira-kira? Memang beberapa hari ini aku menanyakan keseriusan kang Rendi akan hubungan aku dan dia. Sejak itu kang Rendi seperti seperti sedikit diam. Aku jadi bingung Di. Memang kang Rendi belum hidup mapan. Dia masih memyelesaika...
Baca selengkapnya